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函数的极值

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极值

若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义,且对D中除x₀的所有点,都有f(x)<f(x₀),则称f(x₀)

是函数f(x)的一个极大值,点x₀称为极大值点;同理,若有f(x)>f(x₀),则称f(x₀)是函数f(x)的

一个极小值,点x₀称为极小值点。

  • 极大值和极小值统称为函数的极值
  • 极大值点和极小值点统称为函数的极值点

注意

函数的极值是一个局部概念,它只是在极值点附近的所有点的函数值相比较而言的!

极值定理

设函数f(x)在点x₀处具有导数,且x₀是极值点,则函数在点x₀处的导数必为零,即f'(x₀)=0.

注意

导数等于0处不一定是极值!

举个栗子:

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上图中,y=x^3^在x=0处的导数等于0,但x=0处对应的值并不是极值。

事实上,y=x^3^是一个单调递增函数,因此没有极值。

实时效果反馈

1. 关于极值,下列说法正确的是:

A 函数的极值是一个全局概念

B 若极值点处具有导数,则极值点处的导数必然等于0

C 导数为0的地方肯定是极值点

D 所谓极值,就是最大或最小的值

2. 关于函数y=x^3^的极值,下列说法正确的是:

A 这个函数没有极值

B x=0处有极大值

C x=0处有极小值

D 以上说法均不正确

答案

1=>B 2=>A

 

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