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SVD分解

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SVD分解

奇异值分解(Singular Value Decomposition),是在机器学习领域广泛应用的算法,

是很多机器学习算法的基石。

矩阵的奇异值分解是指,将一个非零的mxn实矩阵A,A∈R^mxn^,表示为以下三个实矩

阵乘积形式的运算,即进行矩阵的因子分解:

A=UΣVT

其中,U是m阶正交矩阵,V是n阶正交矩阵,∑是由降序排列的非负的对角线元素组成的mxn矩形对角矩阵(注意这里Σ并不是一个方阵,而是 m*n 的矩阵),满足:

UUT=IVVT=IΣ=diag(σ1,σ2,...,σp)σ1σ2...σp0p=min(m,n)

σ~i~称为矩阵A的奇异值,U的列向量称为左奇异向量;V的列向量称为右奇异向量

注意

特征值分解只能针对于方阵而言,而奇异值分解可以应用于任意形状矩阵

SVD分解的应用

在实际应用中,你将观察到的只有前几个很大的奇异值。其余的奇异值接近于零。

因此,可以忽略除前几个之外而不会丢失大量信息。

  • SVD用于图像压缩

图片压缩利用了在SVD之后仅获得的一些奇异值很大的原理,它将图像的大小(以字节为

单位)最小化到可接受的质量水平。这意味着你可以在相同磁盘空间中存储更多图像。

  • SVD用于降维

SVD分解允许我们将原始矩阵表示为低秩矩阵的线性组合。

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实时效果反馈

1. SVD分解针对的是下列哪种类型的矩阵:

A 方阵

B 对称矩阵

C 单位矩阵

D 任意形状矩阵

2. 关于SVD分解的应用,下列说法正确的是:

A 奇异值越小包含的信息越多

B SVD分解允许我们将原始矩阵表示为低秩矩阵的线性组合

C SVD无法应用于图像压缩

D 以上说法均不正确

答案

1=>D 2=>B

Python入门

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