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二阶导数判断凹凸性_泰勒展开式

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函数的凹凸性:

为了研究函数曲线的弯曲方向,引入了“凹凸性”的概念

  • 如果连接曲线上任意两点的割线段都在该两点间的曲线弧之上,那么该段曲线弧称为凹的,反之则为凸的。

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  • 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数

若函数f(x)在(a,b)内有f''(x)>0,则函数曲线在[a,b]上是凹的;

若函数f(x)在(a,b)内有f''(x)<0,则函数曲线在[a,b]上是凸的;

例如:x^2^的二阶导数是2,恒大于0,所以在其定义域内是凹的。

泰勒公式

泰勒公式是一个非常重要的内容,它将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函

数,泰勒公式这种化繁为简的功能,使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。

  • 泰勒展开是通过多项式函数来近似一个可导函数 f(x),在 x=x~0~ 处进行泰勒展开
  • 很多时候函数 f(x)可能会非常复杂,这时可以使用泰勒展开做一个近似
  • 一元函数泰勒展开

函数 f(x)在含 x~0~ 的某个开区间 (a,b)内具有直到 n 阶导数,则对任意的 x∈(a,b)有

f(x)=f(x0)0!+f(x0)1!(xx0)+f(x0)2!(xx0)2+...+f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)

其中,x~0~是泰勒公式的展开点,R~n~(x)是泰勒公式的余项。

实时效果反馈

1. 关于函数图像的凹凸性,下列说法正确的是:

A 如果函数的二阶导数大于0,则该函数是凹函数

B 一阶导数可以用来判断函数的凹凸性

C 凹凸性用来研究函数的增减性

D 如果函数的二阶导数小于0,则该函数是凹函数

2. 关于泰勒展开下列说法正确的是:

A 可以使用泰勒展开的n阶展开式对复杂的函数做一个近似

B 泰勒展开最多只能展开10项

C 泰勒展开的余项是固定不变的

D 泰勒展开很少应用在人工智能中

答案

1=>A 2=>A

 

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