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协方差

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协方差的定义

设(X,Y)是二维随机变量(二元随机向量),称

E{[XE(X)][YE(Y)]}

为X与Y的协方差,记为cov(X,Y)

由定义可推导得出协方差的常用计算公式:

cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)

注意

对比方差与协方差的计算公式:

  • 方差:D(X)=E(X^2^)-[E(X)]^2^,协方差:cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
  • 随机变量X与其自身的协方差就是X的方差

协方差的意义

  • 协方差反映的是X与Y之间协同发展变化的趋势
  • 协方差刻画了两个随机变量之间的线性关系

image-20230413102316162

协方差矩阵

对于 n 维的向量 X,它的协方差就构成了一个协方差矩阵,第一个是 X~1~ 和 X~1~ 的协方

差, 第一行第二列是 X~1~ 和 X~2~ 的协方差,第一行第 n 列是 X~1~和 X~n~ 的协方差。协方差矩阵

的对角线上是各变量的方差。

image-20230413103644005

实时效果反馈

1. 关于协方差,下列说法正确的是:

A 协方差刻画了两个随机变量之间的线性关系

B 随机变量X与另一个随机变量Y的协方差就是X的方差

C 协方差大于0,则两个自变量的变化趋势相反

D 以上说法均不正确

2. 协方差矩阵的对角线位置上是:

A 各变量的标准差

B 各变量的方差

C 各变量的协方差

D 各变量的期望

答案

1=>A 2=>B

Python入门

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