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多元函数的泰勒展开

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回顾:一元函数泰勒展开

函数 f(x)在含 x~k~ 的某个开区间 (a,b)内具有直到 n 阶导数,则对任意的 x∈(a,b)有

f(x)=f(xk)0!+f(xk)1!(xxk)+f(xk)2!(xxk)2+...+f(n)(xk)n!(xxk)n+Rn(x)

其中,x~0~是泰勒公式的展开点,R~n~(x)是泰勒公式的余项。

展开二项的形式为:

f(x)=f(xk)+(xxk)f(xk)+12(xxk)2f(xk)+on

多元函数的泰勒展开

f(x~k~)是标量,而且是个常数;不过注意(x-x~k~)是个向量,然后T转置这里是把梯度和

(x-x~k~)做内积;二次项的内积,是和 hessian 矩阵做内积。

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多元函数泰勒展开是非常有用的,例如在推导梯度下降法,牛顿法的时候会用的到的,

所以同学们需要把它记住。

实时效果反馈

1. 关于多元函数的泰勒展开,下列说法正确的是:

A 与一元函数的泰勒展开完全一样

B 展开式中需要使用雅克比矩阵

C 展开式中需要使用hessian矩阵

D 以上说法均不正确

2. 关于多元函数泰勒展开的应用,下列说法正确的是:

A 可以进行特征值和特征向量的求解

B 在推导梯度下降法,牛顿法的时候会用到

C 可以进行降维操作

D 以上说法均不正确

答案

1=>C 2=>B

 

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