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矩阵的秩

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k阶子式

在mxn矩阵A中,任取k行k列(1≤k≤min{m,n}),位于这些行列交叉处的k^2^个元素,

按照它们在A中所处的位置所构成的k阶行列式叫做矩阵A的一个k阶子式。

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注意

  • 行列式是由一些数值排列成的数表按一定的法则计算得到的一个数
  • 行列式的行数和列数是相等的
  • mxn矩阵A的k阶子式共有C~m~^k^C~n~^k^个

矩阵的秩的定义

如果在矩阵A中有一个r阶子式D的值不等于零,而所有r+1阶子式(如果存在的话)的

值都等于零,则称数r为矩阵A的秩,记作R(A)。规定零矩阵的秩为0。

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矩阵的秩的性质

  • R(A)=R(A^T^)
  • R(A~mxn~) ≤ min(m,n)
  • 对于n阶方阵A,若|A|≠ 0,有R(A)=n,则称A为满秩矩阵;若|A|= 0,则R(A)<n,则称A为降秩矩阵。满秩矩阵是可逆矩阵,降秩矩阵是不可逆矩阵。

实时效果反馈

1. 一个k阶子式,就是一个_______:

A 矩阵

B 向量

C 多项式

D 行列式

2. 关于矩阵M的秩,下列说法正确的是:

A R(M)=R(M^T^)

B R(M~mxn~) ≤ max(m,n)

C 如果M是一个n阶方阵,且|M|≠ 0,则M为降秩矩阵

D 以上说法均不正确

答案

1=>D 2=>A

 

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